Question

如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．
（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．
（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．

解答：（1）结论：PC是⊙O的切线．（1分）
证明：连接OC
∵CB∥PO
∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB
∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC（2分）
又∵OA=OC，OP=OP
∴△APO≌△CPO
∴∠OAP=∠OCP（3分）
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAP=90°（4分）
∴∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线．（5分）

（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（6分）
由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC
∴∠ACB=∠PCO（7分）
∴△ACB∽△PCO（8分）
∴

BC

OC

=

AC

PC

（9分）
∴PC=

OC•AC

BC

=

3 AB2-BC2

4

=

3 62-42

4

=

3 5

2

（10分）

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．