Question

8．如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．
（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．

解答 解：
方法一：
（1）∵A（4，0），B（0，3），
∴直线l的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）作MH⊥AB，垂足为H，
∵M在y轴上，∴设M（0，t），
2S△ABM=BM×AO=AB×MH，
∴|3-t|×4=5×2，
∴t1=$\frac{1}{2}$，t2=$\frac{11}{2}$，
∴M₁（0，$\frac{1}{2}$），M₂（0，$\frac{11}{2}$）．


方法二：
（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
∴设直线l的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线l的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，
若M在B点下边时，BM=3-m，
∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，
∴△MBN′∽△ABO，
∴$\frac{MN′}{OA}$=$\frac{BM}{AB}$，即 $\frac{2}{4}$=$\frac{3-m}{5}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，此时M（0，$\frac{1}{2}$）；
若M在B点上边时，BM=m-3，
同理△BMN∽△BAO，则有 $\frac{MN}{OA}$=$\frac{BM}{AB}$，即 $\frac{2}{4}$=$\frac{m-3}{5}$，
解得：m=$\frac{11}{2}$．此时M（0，$\frac{11}{2}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．