Question

18．已知一个二次函数的图象的顶点为A（1，3），且该图象经过点B（2，0）．
（1）求出这个二次函数的表达式；
（2）是否在该二次函数的图象上存在点P，且点P在x轴上方，使得四边形OAPB面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式可以假设y=a（x-1）²+3，把点B（2，0）代入得到a=-3，由此即可解决问题；
（2）如图作AE⊥OB于E，连接PE，AB．设P（m，-3m²+6m）．当△PAB面积最大时，四边形OAPB的面积最大，构建二次函数即可解决问题；

解答 解：（1）∵二次函数的图象的顶点为A（1，3），
∴可以假设y=a（x-1）²+3，
把点B（2，0）代入得到a=-3，
∴抛物线的解析式为y=-3（x-1）²+3，
即y=-3x²+6x．

（2）如图作AE⊥OB于E，连接PE，AB．设P（m，-3m²+6m）．
∵当△PAB面积最大时，四边形OAPB的面积最大，
∴S_△PAB=S_△PAE+S_△PEB-S_△ABE
=$\frac{1}{2}$×3×（m-1）+$\frac{1}{2}$×1×（-3m²+6m）-$\frac{1}{2}$×1×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m-3=-$\frac{3}{2}$（（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△PAB的面积最大，此时四边形OAPB的面积最大，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、二次函数的最值、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握用顶点式确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．