Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，∠EDF=∠B，∠EDF的两边分别与AB，AC交于点E，F，且BE=CD
（1）求证：BE+CF=BC；
（2）作CK平分∠ACB，交DF于点K，若DK=2FK，且BC=5$\sqrt{2}$，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的外角的性质可求得∠BED=∠FDC，再结合条件可证明△BED≌△CDF，可求得BE=CD，BD=CF，再利用线段的和差可证得结论；
（2）过点F作FH∥CD，交CK的延长线于点H，则可证得△CDK∽△HFK，且CF=FH，则可证得CD=2CF，结合（1）中的结论可证得CD=2BD，可求得BD的长．

解答 （1）证明：
∵∠B+∠BED=∠CDF+∠EDF，且∠B=∠EDF，
∴∠BED=∠CDF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BE=CD}\\{∠BED=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CDF（ASA），
∴BE=DC，BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴BE+CF=BC；
（2）解：
如图，过点F作FH∥CD，交CK的延长线于点H，

∵CK平分∠BCA，
∴∠FCH=∠BCH=∠H，
∴CF=HF，
∵FH∥CD，
∴△CDK∽△HFK，
∴$\frac{CD}{FH}$=$\frac{DK}{FK}$=$\frac{2FK}{FK}$=2，
∴CD=2FH=2CF，
又由（1）可知BD=CF，
∴CD=2BD，
∴BC=3BD=$5\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，构造三角形全等或相似是解题的关键．