Question

如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=5，求梯形ABCD的周长；
（2）求证：ED-FC=BE．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,梯形

专题：

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ECB=15°，然后求出∠DCF=60°，再求出∠CDF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=2FC，利用勾股定理列式求出DF，再求出BF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解；
（2）过点C作CG⊥AD的延长线于G，把△BCE绕点C顺时针旋转到△GCH，使BC与CG重合，求出∠DCH=45°，从而得到∠DCH=∠ECD，然后利用“边角边”证明△CDE和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DH，然后根据DH-DG=GH等量代换即可得证．

解答：（1）解：∵∠ABC=90°，∠BEC=75°，
∴∠ECB=90°-75°=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-60°=30°，
∴CD=2FC=2×5=10，
由勾股定理得，DF=

102-52

=5

3

，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BC=AB=DF=5

3

，
∴AD=BF=BC-FC=5

3

-5，
∴梯形ABCD的周长=5

3

+5

3

+10+5

3

-5=15

3

+5；

（2）证明：如图，过点C作CG⊥AD的延长线于G，把△BCE绕点C顺时针旋转到△GCH，使BC与CG重合，
则FC=DG，△BCE≌△GCH，
∴CE=CH，∠BCE=∠GCH，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCH=∠DCG+∠GCH=∠DCG+∠BCE=90°45°=45°，
∴∠DCH=∠ECD，
在△CDE和△CDH中，

CE=CH ∠DCH=∠ECD CD=CD

，
∴△CDE≌△CDH（SAS），
∴DE=DH，
由图可知，DH-DG=GH，
∴ED-FC=BE．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出含30°角的直角三角形是解题的关键，（2）难点在于利用旋转作出全等三角形．