Question

已知m，n为正整数，关于x的方程x²-mnx+（m+n）=0有正整数解，求m，n值．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：首先设方程x²-mnx+（m+n）=0的两根分别为：x₁，x₂，由根与系数的关系，可得x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，又由（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，可得（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0，继而求得答案．

解答：解：设方程x²-mnx+（m+n）=0的两根分别为：x₁，x₂，
∵m，n为正整数，
∴x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，
∴这两个根x₁，x₂均为正数，
又∵（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1-[mn-（m+n）+1]=（m+n）-mn+1+[mn-（m+n）+1]=2，
其中（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0．
∵（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=m+n-mn+1，（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∴

m+n-mn+1=0 mn-(m+n)+1=2

或

m+n-mn+1=1 mn-(m+n)+1=1

或

m+n-mn+1=2 mn-(m+n)+1=0

，
解得：

m=2 n=3

或

m=3 n=2

或

m=2 n=2

或

m=1 n=5

或

m=5 n=1

．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用．