Question

13．在△ABC中，∠B=60°，点P为BC边上一点，设BP=x，AP²=y（如图1），已知y是x的二次函数的一部分，其图象如图2所示，点Q（2，12）是图象上的最低点．
（1）边AB=4，BC边上的高AH=2$\sqrt{3}$；
（2）当△ABP为直角三角形时，BP的长是多少．

Answer 1

分析 （1）当AP⊥BC时可知AP²最小，由函数图象可知AP²的值，可求得AP的长即AH的长，在△ABH中，利用三角函数定义可求得AB；
（2）当∠APB=90°时，由（1）利用直角三角形的性质可求得BP的长，当∠BAP=90°时，由直角三角形的性质可知BP=2AB，可求得答案．

解答 解：
（1）当AP⊥BC时可知AP²最小，
∵函数图象中过Q点时函数值最小，
∴AH=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，即BC边上的高为2$\sqrt{3}$；
在Rt△ABH中，∠B=60°，
∴$\frac{AH}{AB}$=sin60°，即$\frac{2\sqrt{3}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得AB=4，
故答案为：4；2$\sqrt{3}$；
（2）当∠APB=90°时，在△ABP中，∠B=60°，
∴∠BAP=30°，∴BP=$\frac{1}{2}$AB=2；
当∠BAP=90°时，在△ABP中，∠B=60°，
∴∠APB=30°，
∴BP=2AB=8．
综上可知当△ABP为直角三角形时，BP的长是2或8．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象与性质、三角函数定义、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中由图象信息得出AH的长是解题的关键，在（2）中分两种情况分别利用直角三角形的性质求得BP与AB的关系是解题的关键．本题考查知识较基础，较易得分．