Question

4．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
（1）试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，得到∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC，由于∠ABC+∠ADC=180°，于是得到∠ABE+∠ADF=90°，根据∠AD与∠AFD互余，得到∠ADF+∠AFD=90°，根据等量代换得到∠ABE=∠AFD，于是得到结论；
（2）由（1）知BE∥DF，得到BE∥DG，根据平行线的性质得到∠EBH+∠DHB=180°，由于BH⊥FG，得到∠DHB=90°由于∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°，得到∠ABE=∠CBE，等量代换得到结论．

解答 解：（1）BE∥DF，
理由：∵BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
∵∠ADF与∠AFD互余，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF；

（2）∠FBH=∠GBH，
理由：由（1）知BE∥DF，
∴BE∥DG，
∴∠EBH+∠DHB=180°，
∵BH⊥FG，
∴∠DHB=90°，
∴∠EBH=180°-∠DHB=90°．
∴∠CBE+∠GBH=180°-∠EBH=90°，
∵∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠ABH=∠GBH，
即∠FBH=∠GBH．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键．