Question

20．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧．
（1）圆弧所在圆的圆心P的坐标为（2，1）
（2）圆弧所在圆的半径为$\sqrt{5}$
（3）扇形PAC的面积为$\frac{5π}{4}$
（4）把扇形PAC围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）连接PA、DC、AC，由勾股定理求出PA=PC即可；
（3）与勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出∠APC=90°，由扇形面积公式计算即可；
（4）由弧长公式和圆的周长即可得出结果．

解答 解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心
如图1所示，圆心P的坐标为（2，1）；
故答案为：（2，1）；
（2）连接PA、PC，如图2所示：
由勾股定理得：PA=PC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；
（3）∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴PA²+PC²=AC²，
∴△APC是等腰直角三角形，∠APC=90°，
∴扇形PAC的面积=$\frac{90π×（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{5π}{4}$；
故答案为：$\frac{5π}{4}$；
（4）设圆锥底面圆的半径为r，
∵$\widehat{AC}$的长=$\frac{90π×\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π，
∴2πr=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π，
解得：r=$\frac{\sqrt{5}}{4}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握垂径定理，通过作图求出圆心坐标是解决问题的关键．