Question

如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG=BE；
（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；
（3）当

BE

BC

=

3

4

时，求sin∠CFE的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性质得到BE=CG，根据FG=BE，等量代价得到FG=CG，即三角形FCG为等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得证；
（3）如图，作CH⊥EF于H，则△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根据BE与BC的比值，设出BE，EC，以及EG，FG，利用勾股定理表示出EF，CF，进而表示出HC，在直角三角形HC中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠CFE的值．

解答：（1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，

∠ABE=∠EGF ∠BAE=∠GEF AE=EF

，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG=BE；

（2）证明：由（1）知：BC=AB=EG，
∴BC-EC=EG-EC，
∴BE=CG，
又∵FG=BE，
∴FG=CG，
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°=

1

2

∠DCG，
∴CF平分∠DCG；

（3）解：如图，作CH⊥EF于H，
∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，
∴△EHC∽△EGF，
∴

HC

GF

=

EC

EF

，
根据

BE

BC

=

3

4

，设BE=3a，则EC=a，EG=4a，FG=CG=3a，
∴EF=5a，CF=3

2

a，
∴

HC

3a

=

a

5a

，HC=

3

5

a，
∴sin∠CFE=

HC

CF

=

2

10

．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．