Question

16．在平面直角坐标系xOy中，过象限内一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．如图，过点H（-3，6）分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAHB的周长与面积相等，则点H（3，6）是“和谐点”．
（1）H₁（1，2），H₂（4，-4），H₃（-2，5）这三个点中的“和谐点”为H₂（4，-4）；
（2）点C（-1，4）与点P（m，n）都在直线y=-x+b上，且点P是“和谐点”．若m＞0，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别以H₁、H₂、H₃三点的横纵坐标的绝对值为矩形的相邻两边，求出其周长及面积，看哪点符合“和谐点”的定义，由此即可得出结论；
（2）由点C的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出b值，从而得出直线的解析式，由点P在直线上，用含m的代数式表示出n，分点P在第一、四象限两种情况考虑，根据“和谐点”的定义，找出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）∵1×2=2，2×（1+2）=6，2≠6，
∴H₁（1，2）不是“和谐点”；
∵4×4=16，2×（4+4）=16，16=16，
∴H₂（4，-4）是“和谐点”；
∵2×5=10，2×（2+5）=14，10≠14，
∴H₃（-2，5）不是“和谐点”．
故答案为：H₂（4，-4）．
（2）∵点C（-1，4）在直线y=-x+b上，
∴1+b=4，解得：b=3，
∴直线的解析式为y=-x+3．
∵点P（m，n）在直线y=-x+3上，
∴点P（m，-m+3）（m＞0），
∴点P可能在第一象限或第四象限．
过点P作PD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥y轴于点E．
 ①当点P在第一象限时，此时0＜m＜3，如图1，则OD=m，PD=n=-m+3，
∴C_矩形PEOD=2×（-m+3+m）=6，S_矩形PEOD=m×（-m+3），
∵点P是“和谐点”，
∴m×（-m+3）=6，即m²-3m+6=0，
∵△=（-3）²-4×6=-15＜0，
∴此方程无实根，
∴第一象限的直线上的点不可能是“和谐点”；
②当点P在第四象限时，此时m＞3，如图2，则OD=m，PD=-n=-（-m+3）=m-3，
∴C_矩形PEOD=2×（m-3+m）=4m-6，S_矩形PEOD=m×（m-3），
∵点P是“和谐点”，
∴m×（m-3）=4m-6，即m²-7m+6=0，
解得：m₁=6，m₂=1（舍去），
∴点P（6，-3）
综上所述，满足条件的点P的坐标为P（6，-3）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的面积、矩形的周长以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用“和谐点”的定义验证H₁、H₂、H₃三点是否为“和谐点”；（2）分两种情况考虑，根据“和谐点”的定义找出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在直线上找出点的横、纵坐标之间的关系，再根据“和谐点”的定义找出关于点的横坐标的方程是关键．