题目内容
已知，在△ABC中，∠C=90°，关于x的方程10x2-10tanA•x-3tanA+4=0有两个相等的实数根，试求sinA、cosA．
考点：根的判别式,同角三角函数的关系
专题：计算题
分析：根据判别式的意义得到△=（10tanA）2-4×10×（-3tanA+4）=0，解得tanA=
或tanA=-2（舍去），由于tanA=
=
，则设BC=4x，AC=5x，再根据勾股定理计算出AB，然后根据正、余弦的定义求解．
| 4 |
| 5 |
| BC |
| AC |
| 4 |
| 5 |
解答：解：根据题意得△=（10tanA）2-4×10×（-3tanA+4）=0，
整理得5tan2A+6tanA-8=0，解得tanA=
或tanA=-2（舍去），
在△ABC中，∠C=90°，tanA=
，如图，
tanA=
=
，则设BC=4x，AC=5x，
所以AB=
=
x，
所以sinA=
=
=
，
cosA=
=
=
．
整理得5tan2A+6tanA-8=0，解得tanA=
| 4 |
| 5 |
在△ABC中，∠C=90°，tanA=
| 4 |
| 5 |
tanA=
| BC |
| AC |
| 4 |
| 5 |
所以AB=
| BC2+AC2 |
| 41 |
所以sinA=
| BC |
| AB |
| 4x | ||
|
4
| ||
| 41 |
cosA=
| AC |
| AB |
| 5x | ||
|
5
| ||
| 41 |
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角函数的定义．
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