Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）若AC=3，求四边形DECF面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由给定条件可得出△ACB为等腰直角三角形，结合点D为AB的中点，即可得出CD=AD、∠A=∠DCF=45°，再由AE=CF即可证出△ADE≌△CDF（SAS），进而即可得出DE=DF、∠ADE=∠CDF，依据CD⊥AB结合角的计算即可得出∠EDF=90°，此题得证；
（2）由（1）可得出S_{四边形DECF}=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，根据AC的长度结合△ACB为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）证明：连接CD，如图所示．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，∠A=∠DCF=45°．
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°=∠EDF，
∴DE⊥DF．
证毕．
（2）解：∵△ADE≌△CDF，
∴S_{四边形DECF}=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∵AC=3，△ACB为等腰直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{9}{2}$，
∴S_{四边形DECF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{9}{4}$．
答：四边形DECF面积为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理证出△ADE≌△CDF是解题的关键．