Question

17．如图，AB是⊙O的直径，$\widehat{ED}$=$\widehat{BD}$，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OA=CD=2$\sqrt{2}$，求阴影部分的面积；
（2）求证：DE=DM．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S_阴影=S_△OCD-S_扇OBD计算即可；
（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．

解答 （1）解：如图，连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∵OA=CD=2$\sqrt{2}$，OA=OD，
∴OD=CD=2$\sqrt{2}$，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠DOC=∠C=45°，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇OBD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$-$\frac{45π×（2\sqrt{2}）^{2}}{360}$=4-π；
（2）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵$\widehat{ED}$=$\widehat{BD}$，
∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，
在△AMD和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠ADB}\\{AD=AD}\\{∠MAD=∠BAD}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△ABD，
∴DM=BD，
∴DE=DM．

点评 本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．