Question

9．①如图1，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
②如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，求∠ABD的度数．

Answer 1

分析 ①根据“SAS”可证明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性质即可证明AC=BD．
②根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC-∠CBD代入数据计算即可得解．

解答 ①证明：
在△ADB和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAB=∠CBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BAC（SAS），
∴AC=BD．
②解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∵BD=BC，
∴∠CBD=180°-70°×2=40°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD
=70°-40°
=30°．

点评 ①本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
②本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．