Question

1．如图：Rt△ACB中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB=180°．已知AC=6，BE=2，求线段BD的长为5．

Answer 1

分析 延长AD到M，作DH⊥AB于H．首先证明△ADC≌△ADH，推出AC=AH=6，再证明AH=HE=6，由BE=2，可得BH=4，推出AB=10，在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，由cos∠DBH=$\frac{BH}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：延长AD到M，作DH⊥AB于H．
∵∠C=∠AHD，AD=AD，∠DAC=∠DAH，
∴△ADC≌△ADH，
∴AC=AH=6，
∵∠ADE+∠CAB=180°，∠ADE+∠EDM=180°，
∴∠EDM=∠CAB，
∵∠EDM=∠DAE+∠DEA=∠DAE+∠CAD，∠CAD=∠DAB，
∴∠DAB=∠E，
∴DA=DE，∵DH⊥AE，
∴AH=HE=6，∵BE=2，
∴BH=4，
∴AB=10，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵cos∠DBH=$\frac{BH}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{4}{BD}$=$\frac{8}{10}$，
∴BD=5，
故答案为5

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．