Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，且AC=FC．求证：AC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；证明∠OAC=90°，即可解决问题．

解答： 解：如图，连接OA、OD；
∵点D为

BDE

的中点，
∴OD⊥BE，∠ODF+∠OFD=90°；
∵OA=OD，AC=FC，
∴∠OAF=∠ODF，∠CAF=∠CFA=∠OFD，
∴∠OAF+∠CAF=∠ODF+∠OFD=90°，
即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．

点评：该题主要考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、垂径定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用腰三角形的性质、垂径定理及其推论等几何知识点来分析、判断、解答．