Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点E，点E在对称轴的右侧，对称轴交直线y=x于点C．
（1）求该抛物线的解析式和CE的长；
（2）点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，当△PCM为等边三角形时．
①求点P的坐标；
②连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在点N，使△CMN与△CPE全等？若存在试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）①根据△PCM为等边三角形，则△CGM中，∠CMD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CM，即等边△CMP的边长，则P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
②可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，可以证得EN=EF，即N与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点N与点F不重合相矛盾，故N不存在．

解答：解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²+1，将点A（0，2）代入，得
a（0-2）²+1=2…1分
解这个方程，得a=

1

4

，
∴抛物线的表达式为y=

1

4

（x-2）²+1=

1

4

x²-x+2；将x=2代入y=x得y=2，
∴点C的坐标为（2，2），
∴OC=

22+22

=2

2

，
把y=x代入y=

1

4

x²-x+2，得：x=

1

4

x²-x+2
解得：x₁=4+2

2

，x₂=4-2

2

＜2（不合题意，舍去），
将x₁=4+2

2

代入y=x得y=4+2

2

，
∴OE=（4+2

2

）•

2

=4

2

+4，
∴EC=OE-OC=4

2

+4-2

2

=2

2

+4；

（2）①设抛物线的对称轴与x轴交于点D，
由C（2，2），得CD=2，
∵△PCM为等边三角形，
∴∠CMP=60°，CM=PM，
∵PM⊥x轴，即∠PMO=90°，
∴∠CMD=30°，
∴MC=2CD=4，DM=2

3

，
∴PM=4，OM=2+2

3

，
∴点P的坐标为（2+2

3

，4）；

②不存在，理由如下：
假设x轴上存在一点N，使得△CMN与△CPE全等，
则CN=CE，∠MCN=∠PCE，
∵∠MCP=60°，
∴∠NCE=60°，
∴△CNE为等边三角形，
∴EN=CE，∠CEN=60°，
过E作EF⊥x轴于F，
∵E（4+2

2

，4+2

2

），
∴EF=4+2

2

，
又∵CE=4+2

2

，
∴EN=CE=EF，
∴点N与点F必须重合，
∴∠CEF=∠CEN=60°，
又∵点E在直线y=x上，且EF⊥x轴于点F，
∴∠CEF=45°，得出矛盾，
∴假设不成立，即满足条件的点不存在．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．