Question

6．如图，在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D是射线AM上的一个动点，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）填空：若D与M重合时（如图1）∠CBE=30度；
（2）如图2，当点D在线段AM上时（点D不与A、M重合），请判断（1）中结论是否成立？并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若AB=6，试求CE的长．

Answer 1

分析 （1）先由已知条件得出BD=CD，再由△CDE是等边三角形，得出∠CDE=60°，CD=DE，那么BD=DE，根据等边对等角得到∠BED=∠DBE，再利用三角形外角的性质得出∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，从而求出∠DBE=30°，即∠CBE=30°；
（2）先利用SAS证明△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据等腰三角形三线合一的性质求出∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，那么∠CBE=30°；
（3）根据等边三角形的性质以及中点的定义得出CE=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=3．

解答 解：（1）如图1．
∵在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D与M重合，
∴BD=CD，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠DBE，
又∵∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，
∴∠DBE=30°，即∠CBE=30°；
故答案为30；

（2）（1）中结论成立．理由如下：
如图2．
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵在等边△ABC中，M是BC中点．
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠CBE=30°；

（3）如图1．
∵在等边△ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6．
∵在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D与M重合，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵△CDE是等边三角形，
∴CE=CD=3．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．