Question

14．△ABC与△DEC的位置关系如图所示，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=m，AB=n（n＞m），则DF=$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{m}$．

Answer 1

分析 如图，设S_梯形ABEF=λ，S_△CEF=μ，S_△CDF=γ；首先证明DF=$\frac{γm}{μ}$①；然后运用相似三角形的性质证明$\frac{γ}{μ}=\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}}$②，将②代入①，即可解决问题．

解答 解：如图，设S_梯形ABEF=λ，S_△CEF=μ，S_△CDF=γ；
则$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△CEF}}=\frac{DF}{m}=\frac{γ}{μ}$，DF=$\frac{γm}{μ}$①；
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∴$\frac{μ}{λ+μ}=（\frac{m}{n}）^{2}$，化简得：$\frac{λ}{μ}=\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}}$；
∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴λ+μ=μ+γ，即λ=γ，
∴$\frac{γ}{μ}=\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}}$②，将②代入①得：
DF=$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{m}$，
故答案为$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}}{m}$．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的方法是深入观察图形，准确找出图形中的相等或相似关系；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、解答．