(1)问题发现如图1.△ABC和△ADE均为等边三角形.点D在边BC上.连接CE．请填空: ①∠ACE的度数为60°, ②线段AC.CD.CE之间的数量关系为AC=CD+CE．(2)拓展探究如图2.△ABC和△ADE均为等腰直角三角形.∠BAC=∠DAE=90°.点D在边BC上.连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC.CD.CE之间的数量关系.并说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．（1）问题发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：
①∠ACE的度数为60°；
②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．
（2）拓展探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．

分析（1）①证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论：∠ACE=∠B=60°；
②由△BAD≌△CAE，得BD=CE，利用等边三角形的AC=BC=BD+DC等量代换可得结论；
（2）如图2，先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，同理可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建如图2的两个等腰直角三角形，已经有一个△ABD，再证明△ACF也是等腰直角三角形，则利用（2）的结论求AC的长．

解答解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°，
故答案为：60°；
②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；
理由是：由①得：△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∵AC=BC=BD+CD，
∴AC=CD+CE；
故答案为：AC=CD+CE；
（2）∠ACE=45°，$\sqrt{2}$AC=CD+CE，理由是：
如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∵BC=CD+BD，
∴BC=CD+CE，
∵在等腰直角三角形ABC中，BC=$\sqrt{2}$AC，
∴$\sqrt{2}$AC=CD+CE；
（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，
∴BD=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{7}$，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由（2）得：$\sqrt{2}$AC=BC+CD，
∴AC=$\frac{BC+CD}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$．

点评本题是四边形的综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、四点共圆的性质和判定，本题还运用了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作辅助线，构建等腰直角三角形ACF是关键．

试题分类