Question

13．如图，半圆O的直径为AB，E，F为AB的三等分点．EM∥FN交半圆于M，N，且∠NFB=60°，EM+FN=$\sqrt{33}$，则它的半径是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 延长ME交⊙O于点G，由AE=FB，EG∥NF可得EG=NF，MG=ME+NF，利用垂径定理得MG，由三等分可求得AE和OE与半径的关系，利用锐角三角函数得OH，再利用勾股定理可得出答案．

解答 解：延长ME交⊙O于点G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴根据圆的对称性可得，FN=EG，
∴MG=ME+NF
∴MG=$\sqrt{33}$．
过点O作OH⊥MG于点H，连接OM，
则MH=$\frac{1}{2}MG$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．
设它的半径为x，则直径为2x，
∵AE=EF=BE，
∴AE=$\frac{2}{3}$x，则OE=$\frac{1}{3}$x，
∵EM∥FN，且∠NFB=60°，
∴∠MEB=60°，
∴OH=$\frac{1}{3}x$•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，
∴${（\frac{\sqrt{33}}{2}）}^{2}$+${（\frac{\sqrt{3}}{6}x）}^{2}$=x²，解得：x=3．
故选D．

点评 本题主要考查垂径定理及勾股定理，把EM+FN转化为MG是解题的关键．