题目内容
已知，如图二次函数
的图象与y轴交于点C（0，
4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点
D（2，m），
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE
的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，
点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时、求出满足条件的点M和点N的
坐标．
（1）由题意有：
解得：
，b=1，c=4
所以，二次函数的解析式为：
∵点D(2，m)在抛物线上，即
所以点D的坐标为(2，4)
（2）令y=0，即
解得：x1=4，x2=-2
∴A，B点的坐标分别是(-2，0)，(4，0)
过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为(t，0)，
∵QE∥AD， ∴△BEQ与△BDA相似
∴
即
∴
∴S△BEQ
∴
∴当t=1时，S△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为(1，0)
（3）解：如图，
，可求得直线AD的
解析式为：
即点F的坐标为：
过点F作关
于x轴的对称点F′，即
连接CD，再连接DF′交对
称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴
x=1对称
∴CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+
∴四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C
即四边形CFNM的最短周长为：
此时直线DF′ 的解析式为：
所以存在点N的坐标为N
，点M的坐标为M(1，1)
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