Question

10．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，且CA=CB，∠OAC+∠OBC=180°，求证：
（1）∠AOC=∠BOC；
（2）OA+OB=2OM．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OB于E，证明Rt△ECB≌Rt△MCA，得到EC=MC，根据角平分线判定定理可得结论；
（2）证明Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性质得出答案即可．

解答 证明：如图，作CE⊥OB于E，
∵∠3+∠4=180゜，∠4+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠3，
在△ECB和△MCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CMA}\\{∠EBC=∠3}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴EC=MC，BE=AM，
∵CM⊥OA，CE⊥OB，
∴∠1=∠2，
即∠AOC=∠BOC；
（2）在Rt△EOC和Rt△MOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{EC=MC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EOC≌Rt△MOC（HL），
∴OM=OE，
∵BE=AM，
∴OA+OB=20M．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．