Question

15．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=$\frac{1}{3}$，求tan∠A，tan∠D．

Answer 1

分析 作辅助线BE∥AC交CD于点E，作CF⊥AB于点F，然后根据题目中的数量关系，即可解答本题．

解答 解：作BE∥AC交CD于点E，作CF⊥AB于点F，如右图所示，
∵BE∥AC，∠ACB=90°，
∴∠CBE=∠ACB=90°，
∵BD=AB，连接CD，tan∠BCD=$\frac{1}{3}$，
∴AC=2BE，BC=3BE，
∴tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{2}$，
设AF=2a，则CF=3a，
∴AC=$\sqrt{（2a）^{2}+（3a）^{2}}=\sqrt{13}a$，
∴BC=$\frac{3\sqrt{13}a}{2}$，
∴AB=$\frac{13a}{2}$，BF=$\frac{9a}{2}$，
∴tan∠D=$\frac{CF}{DF}=\frac{3a}{\frac{9a}{2}+\frac{13a}{2}}=\frac{3}{11}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．