Question

10．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=4，AB=10，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时．若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 当AB与⊙O相切时，PB的值最大，作辅助线构建直角三角形，先证明四边形ABFC是矩形，得CF=AB=10，设PB=x，在Rt△CFP中，根据勾股定理列方程求出x即可．

解答 解：当AB与⊙O相切时，PB的值最大，如图，
设AB与⊙O相切于点E，连接OE，则OE⊥AB，
过C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
∴四边形ABFC是矩形，
∴CF=AB=10，
∵CO=OP，
∴AE=BE，
∴OE是梯形ABPC的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$（AC+PB），
设PB=x，则OE=$\frac{1}{2}$（4+x），
∴PC=2OE=4+x，PF=x-4，
由勾股定理得：10²+（x-4）²=（4+x）²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴BP最大值为$\frac{25}{4}$；
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，直线与圆有三种位置关系：①直线l和⊙O相交?d＜r，②直线l和⊙O相切?d=r，③直线l和⊙O相离?d＞r；相切是常考知识点，要熟练掌握；本题是求线段的最值问题，要先找出最值时动点所在的位置或圆与直线的特殊关系，根据这个位置关系求出最大值．