如图.在同一直角坐标系中.正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于第一.三象限的点B.D.已知点A．(1)直接判断并填写:不论α取何值.四边形ABCD的形状一定是平行四边形,时.四边形ABCD是矩形.试求p和m有值,②观察猜想:对①中的m值.直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p和m有值；
②观察猜想：对①中的m值，直接写出能使四边形ABCD为矩形的点B坐标．
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．

分析（1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
（2）①把点B（p，1）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出tanα的值，得出α的度数；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；
②当m=2时，设B（x，$\frac{\sqrt{3}}{x}$），则x＞0，由OB=2，得出x²+$\frac{3}{{x}^{2}}$=4，进而得出答案；
（3）假设四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，又AC在x轴上，所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形．

解答解：（1）∵点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，
∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
故答案为：平行四边形；

（2）①∵点B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
∴p=$\sqrt{3}$，
∴BO=2，
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，
∴OB=OD=2，
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0），
∴AO=BO=CO=DO=2，
∴m=2；

②当m=2时，设B（x，$\frac{\sqrt{3}}{x}$），则x＞0，由OB=2，
得出x²+$\frac{3}{{x}^{2}}$=4，
解方程得：x=±1或±$\sqrt{3}$（负数舍去），
故能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个分别为：（1，$\sqrt{3}$）、（$\sqrt{3}$、1）；

（3）四边形ABCD不能是菱形．
法一：∵点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上．
又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点．
∴对角线AC与BD不可能垂直．
∴四边形ABCD不能是菱形；

法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上．
所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形．

点评本题主要考查了反比例函数综合、平行四边形的判定，矩形、菱形的性质及三角函数的定义等知识，正确把握矩形、菱形的性质是解题关键．

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