Question

4．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为$\frac{2π}{3}$，则图中阴影部分的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{2}{3}π$．

Answer 1

分析 首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S_△ABC-S_扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．

解答 解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵$\widehat{BE}$的长为$\frac{2}{3}π$，
∴$\frac{60π×R}{180}$=$\frac{2}{3}π$，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S_△ABC-S_扇形BOE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}π$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{2}{3}π$．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．