Question

4．如图，已知△ABC．
（1）按下列步骤用直尺和圆规作图
①作线段BC的垂直平分线，与线段AC交于点E；②作射线BE；③作∠DCB=∠ABC，与射线BE交于点D．
（2）求证△DCB≌△ABC．

Answer 1

分析 （1）①根据线段垂直平分线的作法进行作图即可；②连接BE并延长，即可得到射线BE；③在点C处作∠DCB=∠ABC，与射线BE交于点D；
（2）根据点E在BC的垂直平分线上，可得EC=EB，进而得到∠EBC=∠ECB，再根据ASA判定△DCB≌△ABC即可．

解答 解：（1）①如图所示，直线MN即为所求；
②如图所示，射线BE即为所求；
③如图所示，∠DCB即为所求；


（2）∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EC=EB，
∴∠EBC=∠ECB，
在△DCB和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ECB}\\{BC=CB}\\{∠DCB=∠ABC}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△ABC（ASA）．

点评 本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．