Question

已知：如图，△ABC中，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F，作DM垂直于AB交AB于点M．
（1）猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
（2）求证：AB-AC=2CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）连接CD，BD，根据中垂线的性质就可以得出CD=BD，由角平分线的性质就可以得出DF=DM，就可以得出Rt△CDF≌Rt△BDM就可以得出结论；
（2）由条件可以得出Rt△AFD≌Rt△AMD，就可以得出AF=AM，由AB-AC=AB-（AF-CF）=AB-AF+CF，就可以得出结论．

解答：解：（1）CF=BM．                       
理由：连接CD，DB，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF=DM．∠AFD=∠DMB=90°．
∵DE垂直平分BC，
∴CD=BD．
在Rt△CDF和Rt△BDM中，

CD=BD DF=DM

，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM．
∴CF=BM；                                  
（2）证明：在Rt△AFD和Rt△AMD中

AD=AD DF=DM

，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，
∴AF=AM．
∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，
∴AB=AF+BM，
∴AB=AC+CF+CF，
∴AB-AC=2CF．

点评：本题考查了中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．