Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 直接利用旋转的性质结合相似三角形的判定与性质得出DB′的长进而得出答案．

解答 解：由题意可得：AD∥CD′，
故△ADE∽△D′CB′，
则$\frac{DB′}{B′C}$=$\frac{AD}{CD′}$，
设AD=x，则B′C=x，DB′=4-x，AB=CD′=4，
故$\frac{4-x}{x}$=$\frac{x}{4}$，
解得：x₁=-2-2$\sqrt{5}$（不合题意舍去），x₂=-2+2$\sqrt{5}$，
则DB′=6-2$\sqrt{5}$，
则tan∠DAD′=$\frac{DB′}{AD}$=$\frac{6-2\sqrt{5}}{-2+2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出DB′的长是解题关键．