题目内容
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如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=18cm，AF=12cm，AC=16cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$的值；
（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=2；
（3）当t取何值时，△DFE≌△DMG．
分析 （1）根据角平分线的性质，得出DF=DM，再根据S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DF，S△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DM，即可得出$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$的值；
（2）根据动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，可得AE=2t，CG=t，而DF=DM，再根据$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•DF}{\frac{1}{2}CG•DM}$进行计算求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当点G在线段CM上时，②当点G在线段MA上时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．
解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DM⊥AC
∴DF=DM，
又∵S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DF，S△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DM，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{18}{16}$=$\frac{9}{8}$；
（2）证明：∵动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2t，CG=t，而DF=DM，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△DGC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•DF}{\frac{1}{2}CG•DM}$=$\frac{AE}{CG}$=$\frac{2t}{t}$=2；
（3）①如图1，当点G在线段CM上时，
EF=AF-AE=12-2t，AM=AF=12，GM=CM-CG=（16-12）-t=4-t，
∵△DFE≌△DMG，
∴EF=GM，
∴12-2t=4-t，
∴t=8（舍去）；
②如图2，当点G在线段MA上时，
EF=AF-AE=12-2t，GM=CG-CM=t-4，
∵△DFE≌△DMG，
∴EF=GM，
∴12-2t=t-4，
∴t=$\frac{16}{3}$，
综上所述：t=$\frac{16}{3}$．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质，三角形的面积计算以及解一元一次方程的运用．解决问题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，解题时注意运用全等三角形的对应边相等列出方程．
小学能力测试卷系列答案
用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短直角边，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
完成下列证明过程．| A． | 0既不是正数，也不是负数，所以0不是有理数 | |
| B． | 在-3与-1之间仅有一个有理数 | |
| C． | 一个负数的倒数一定还是负数 | |
| D． | 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 |
如图所示，数轴上有A、B、C三个点，且点B是线段AC的中点，点A表示-3，点B表示的是-$\sqrt{2}$，则点C表示的数是-2$\sqrt{2}$+3．
实数a，b在数轴对应点的位置如图示，对于以下结论：①a＞-2；②a＜-3；③a＞-b；④-a＜-b；⑤a-b＜0；⑥|a|＞b；⑦|a|-b＞1；⑧|a-1|＞b；⑨a+2b＞0，其中正确的结论是③⑤⑥⑧⑨（填写序号）
如图所示，在等边三角形ABC中，剪去∠A，∠C后，∠1+∠2+∠3+∠4=480°．