Question

19．如图所示，某幼儿园为加强安全管理，决定将园内滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方有3米长的空地就能保证安全，已知原滑滑板的前方有5米长的空地，则这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{6}$≈2.449，以上结果均保留到小数点后两位）

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中利用45°的正切计算出AC=2$\sqrt{2}$，再在Rt△ADC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD≈5.656（m），然后计算AD-AB即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质得到BC=AC=2$\sqrt{2}$，再在Rt△ADC中利用30度的正切计算出CD=2$\sqrt{6}$，则BD≈2.070，所以5-2.070=2.930＜3，由于滑滑板的正前方有3米长的空地就能保证安全，则可判定这样改造不可行．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC=4tan45°=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ADC中，∵∠D=30°，
∴AD=2AC=4$\sqrt{2}$≈5.656（m），
∵AD-AB=5.656-4≈1.66（m），
∴改善后滑滑板会加长1.66米；
（2）不可行，理由如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ADC中，∵tanD=$\frac{AC}{CD}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{2}}{tan30°}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BD=CD-BC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$≈2.07，
而5-2.07=2.930＜3，
∴这样改造不可行．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，要求同学们能利用三角函数求出表示出线段的长度．