Question

19．已知AB是半圆O的直径，OB是半圆C的直径，半圆O的弦AE切半圆C于F，若AE=8．
（1）求半圆C的半径；
（2）求△BCE的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，连接CF，则CF⊥AE，由AB是半圆O的直径，得到BE⊥AE，于是得到CF∥BE，延长△ACF∽△ABE，得到比例式$\frac{AF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}$，设OC=r，则AB=4r，根据勾股定理即可得到结果；
（2）根据S_△BCE=S_△ABE-S_△ACE代入数值即可得到结果．

解答 解：（1）如图，连接CF，则CF⊥AE，
∵AB是半圆O的直径，
∴BE⊥AE，
∴CF∥BE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{CF}{BE}=\frac{AC}{AB}$，
设OC=r，则AB=4r，
∵AE=8，
∴AF=6，EF=2，
在R_t△ACF中，
∵AC²-CF²=AF²
即（3r）²-r²=6²，
解得r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴半圆C的半径为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，

（2）∵CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=2$\sqrt{2}$
∴S_△BCE=S_△ABE-S_△ACE
=$\frac{1}{2}$（AE•BE-AE•CF）
=$\frac{1}{2}$AE（BE-CF）
=$\frac{1}{2}$×8（2$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）
=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积的求法，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．