Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4）、D（5，0），点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O、C、B、A运动，点P的运动时间为t秒．
（1）当t=2时，求直线PD的函数解析式；
（2）当t＞4时，OP+PD有最小值吗？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，△ODP的腰长为5的等腰三角形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得OP的长，即可求得P的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）D关于BC的对称的点坐标是D'（5，8），则OD'的长等于OP+PD的最小值；
（3）分OD=OP=5，PD=OD=5和OP=PD=OD三种情况进行讨论，利用勾股定理求解．

解答：解：（1）当t=2时，OP=2，则P的坐标是（0，2）．
设直线PD的解析式是y=kx+b，
则

b=2 5k+b=0

，
解得：

b=2 k=- 2 5

．
则直线PD的解析式是：y=-

2

5

x+2；

（2）D关于BC的对称的点坐标是D'（5，8），则OD=

52+82

=

89

，即OP+PD的最小值是

89

；

（3）当OD=OP=5时，在直角△OPC中，CP=

OP2-OC2

=

52-42

=3，则t=4+3=7；
当PD=OD=5时，作DE⊥BC于点E，同理，在直角△PED中，得到PE=3，则当P在E的左边时，CP=5-3=2，则t=4+2=6；
当P在E的右边是CP=5+3=8，则t=4+8=12；
当OP=PD=OD时，P不在BC上．
总之，t=7或6或12．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及等腰三角形的性质，正确进行讨论是关键．