题目内容
12．观察下列数，探索其中的规律：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$…
（1）填空：第8，9，10个分别是$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
（2）第2016个数是$\frac{1}{2016×2017}$；
（3）第n个算式为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（4）计算$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$．
分析 解：（1）（2）（3）由$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$…下列各式可知：相邻的两个正整数的积的倒数，等于较小的这个数的倒数与较大的这个数的倒数的差，即：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．由此规律可解决问题（1）（2）（3）
（4）利用以上规律进行简便运算．
解答 解：（1）的答案为：$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；
（2）的答案为：$\frac{1}{2016×2017}$；
（3）的答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（4）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{99×100}$
═1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$
=1-$\frac{1}{100}$
=$\frac{99}{100}$
点评 本题考查了数字的变化规律的应用计算，解题的关键是能够探索出规律“相邻的两个正整数的积的倒数，等于较小的这个数的倒数与较大的这个数的倒数的差”．
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，∠C=90°，