Question

16．如图，已知二次函数y=（x+1）（x-3）交x轴于A、B两点，直线l过点C（-3，0）．
（1）若直线l上有唯一的点D，使得∠ADB=90°，求直线l的解析式；
（2）抛物线上是否存在点E，使得∠AEB=90°？如果存在，求出点E的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过AB的中点E作⊙E，若直线l与⊙E相切时，此时切点即为D，这时直线l上只有一个点能使∠ADB=90°，利用勾股定理即可求出D的坐标，由于圆具有对称性，所以直线l有两种情况；
（2）⊙M与抛物线相交于点E，设点E的坐标为（m，m²-2m-3），利用相似三角形的性质即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）过AB的中点M作⊙M，
过点C作直线l与⊙O相切，切点为D，
令y=0代入y=（x+1）（x-3），
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴点M（1，0），AB=4，
过点D作DO′⊥x轴，
∵CM=4，DM=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴sin∠DCM=$\frac{DM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DCM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DCM=30°，
∴由勾股定理可求得：CD=2$\sqrt{3}$，
∴DO′=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$
∴$\frac{DO′}{CO′}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CO′=3，
即O′与O重合，
∴D（0，$\sqrt{3}$），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把（0，$\sqrt{3}$）和（-3，0）代入y=kx+b，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
由于圆具有对称性，所以点D的坐标也可以是（0，-$\sqrt{3}$），
同理可求得的直线l的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
综上所述，直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）设⊙M与抛物线交于点E，
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴由圆周角定理可知：∠AEB=90°，
∵∠AEF+∠FAE=∠FAE+∠ABE=90°，
∴∠AEF=∠ABE，
∴△AEF∽△ABE，
∴EF²=AF•BF，
设E（m，m²-2m-3），
∴EF=-（m²-2m-3），AF=m+1，BF=3-m，
∴[（m+1）（m-3）]²=（m+1）（3-m），
∴（m+1）（m-3）=-1，
∴m=1±$\sqrt{2}$，
∴E（1±$\sqrt{2}$，-1），

点评 本题考查二次函数综合问题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理等知识，综合程度较高．