Question

3．已知，点A在二次函数$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-ax-\frac{3}{2}$（a为常数，a＜0）的图象上，A点横坐标为m，边长为1的正方形ABCD中，AB⊥x轴，点C在点A的右下方．
（1）若A点坐标为（-2，-$\frac{1}{2}$），求二次函数图象的顶点坐标；
（2）若二次函数图象与CD边相交于点P（不与D点重合），用含a、m的代数式表示PD的长，并求a-m的范围
（3）在（2）的条件下，将二次函数图象在正方形ABCD内（含边界）的部分记为L，L对应的函数的最小值为-$\frac{3}{2}$，求a与m之间的函数关系式，并写出m的范围．

Answer 1

分析 （1）将A点坐代入解析式直接求出．
（2）求出P、D、C三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间列出不等式组即可解决问题．
（3）L对应的函数的最小值为-$\frac{3}{2}$，即点P的纵坐标的值为-$\frac{3}{2}$，由此列出关系式，即可解决问题．再结合（2）的结果，列出不等式确定m的范围．

解答 解：（1）∵点A（-2，-$\frac{1}{2}$）在二次函数y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-ax-$\frac{3}{2}$（a为常数，a＜0）的图象上，
∴-$\frac{1}{2}$=2+2a-$\frac{3}{2}$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{13}{8}$，
∴当A点坐标为（-2，-$\frac{1}{2}$）时，二次函数图象的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{13}{8}$）．

（2）∵A点的横坐标为m，正方形ABCD边长为1，
∴A（m，$\frac{1}{2}$m²-am-$\frac{3}{2}$），
B（m，$\frac{1}{2}$m²-am-$\frac{5}{2}$），
C（m+1，$\frac{1}{2}$m²-am-$\frac{5}{2}$），
D（m+1，$\frac{1}{2}$m²-am-$\frac{3}{2}$），
P（m+1，$\frac{1}{2}$（m+1）²-a（m+1）-$\frac{3}{2}$），
∵$\frac{1}{2}$m²-am-$\frac{5}{2}$≤$\frac{1}{2}$（m+1）²-a（m+1）-$\frac{3}{2}$，
解得：a-m≤$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$（m+1）²-a（m+1）-$\frac{3}{2}$＜$\frac{1}{2}$m²-am-$\frac{3}{2}$，
解得：a-m＞$\frac{1}{2}$，
综上所述，$\frac{1}{2}$＜a-m≤$\frac{3}{2}$．

（3）∵L对应的函数的最小值为-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$（m+1）²-a（m+1）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴（m+1）²-2a（m+1）=0．
∴（m+1）（m+1-2a）=0，
由图象可知点P不在y轴上，∴m≠-1，
∴a=$\frac{m+1}{2}$
由（2）可知，$\frac{1}{2}$＜$\frac{m+1}{2}$-m≤$\frac{3}{2}$且$\frac{m+1}{2}$＜0，
解得-2≤m＜-1．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点，有一点综合性，难度不大，但解法巧妙．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利用（2）的结论，转化为不等式确定自变量取值范围，属于中考压轴题．