题目内容
7．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C分别在y轴、x轴上，点B在第一象限，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6经过A、B两点．（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）将线段CB沿着过点C的直线l对折，点B恰好落在矩形的对角线AC上，求直线l的解析式．
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使点P与直线l的对称点恰好落在y轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据抛物线解析式求得点A的坐标，然后结合矩形的性质和抛物线的性质可以求得点B、C的坐标；
（2）根据对称性和勾股定理可以求得点E的坐标，从而可以求得直线l的解析式；
（3）先确定出点O关于直线l的对称点E的坐标，进而求出直线EF解析式，即可得出直线EF与抛物线的交点就是点P．
解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{2}$x2+4x+6，
∴当x=0时，y=6，
∴A（0，6）．
又y=-$\frac{1}{2}$x2+4x+6=-$\frac{1}{2}$（x-4）2+14，
∴该抛物线的对称轴是x=4，
∴点A、B关于直线x=4对称，
∴B（8，6），
∴C（8，0）．
（2）如右图所示，
由已知可得，DE=BE，CD=CB，
∵A（0，6），B（8，6），点C（8，0），
∴BC=6，OC=8，
∴AC=10，CD=6，
∴AD=4，
设AE=a，
∴EB=8-a，
∴DE=8-a，
∴42+（8-a）2=a2，
解得，a=5，
∴点E的坐标为（5，6）
设过点C（8，0），点E（5，6）的直线l的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=16}\end{array}\right.$，
即直线l的解析式为：y=-2x+16．
（3）如图1，
由（2）知，直线l的解析式为y=-2x+16，
作出点O关于直线l的对称点E（$\frac{64}{5}$，$\frac{32}{5}$），
直线l与y轴的交点为F（0，16），
∴OF=EF，直线EF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+16①，
∵点P在抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6②上，
联立①②得，x=$\frac{19±\sqrt{41}}{4}$，
∴P（$\frac{19+\sqrt{41}}{4}$，$\frac{199-3\sqrt{41}}{16}$）或（$\frac{19-\sqrt{41}}{4}$，$\frac{199+3\sqrt{41}}{16}$）
点评 此题是二次函数的综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，折叠的性质，角平分线定理，垂直平分线的性质，解（2）的关键是利用角平分线的性质建立方程，解（3）的关键判断出点P是直线EF和抛物线的交点．
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