Question

13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，点E在CA的延长线上，且DE为⊙O切线．
（1）求证：AB∥DE；
（2）连接AD，若tan∠ADC=$\frac{1}{3}$，AC=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，由于∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理得$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，则利用垂径定理有OD⊥AB，再利用切线的性质得OD⊥DE，于是可判断AB∥DE；
（2）作AH⊥DE于H，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠ADC，在Rt△ACB中，利用∠B的正切可计算出BC=12，接着利用勾股定理可计算出AB=4$\sqrt{10}$，然后证明四边形AHDO为正方形得到AH=DH=OA=2$\sqrt{10}$，再证明Rt△AHE∽Rt△BCA，利用相似比可计算出HE=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，最后计算DH+HE即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥AB，
∵DE为⊙O切线，
∴OD⊥DE，
∴AB∥DE；
（2）解：作AH⊥DE于H，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠ADC，
∴tanB=tan∠ADC=$\frac{1}{3}$，AC=4，
在Rt△ACB中，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BC=3AC=12，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∴OA=OD=2$\sqrt{10}$，
∵OA∥DE，OD⊥OA，AH⊥DE，OA=OD，
∴四边形AHDO为正方形，
∴AH=DH=OA=2$\sqrt{10}$，
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠E，
∴Rt△AHE∽Rt△BCA，
∴$\frac{HE}{AC}$=$\frac{AH}{BC}$，即$\frac{HE}{4}$=$\frac{2\sqrt{10}}{12}$，
∴HE=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴DE=DH+HE=2$\sqrt{10}$+$\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．