题目内容
2．
如图，等腰Rt△ABC（∠C=90°）与正方形MNPQ中，AC=MN=4，点A从M点位置出发向右运动，直到C与N点重合为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为y，MA=x，则y与x之间的函数解析式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x（4＜x≤8）}\end{array}\right.$．
分析 分两种情况进行讨论：①当0＜x≤4cm时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，根据三角形的面积公式求解；②当4＜x≤8时，重合部分是直角梯形，设AB与PN交于点D，根据y=S△ABC-S△ADN即可求解．
解答 
解：分两种情况：
①当0＜x≤4cm时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，如图1，
面积y=$\frac{1}{2}$AM2=$\frac{1}{2}$x2；
②当4＜x≤8时，重合部分是直角梯形，如图2，设AB与PN交于点D，
∵MA=x，MN=4，
∴AN=AM-MN=x-4．
面积y=S△ABC-S△ADN
=$\frac{1}{2}$AC2-$\frac{1}{2}$AN2
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$（x-4）2
=8-$\frac{1}{2}$（x2-8x+16）
=-$\frac{1}{2}$x2+4x．
故答案为y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x（4＜x≤8）}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，利用了分类讨论与数形结合思想，具有很强的综合性，关键是得出每段函数的函数解析式．
练习册系列答案
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