Question

1．在正方形ABCD中，点P在对角线AC上，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交DC的延长线于点E，求证：DF=EF．

Answer 1

分析 连接PD，设BC交PE于O．首先证明△PCD≌△PCB．推出PB=PD，∠CBP=∠CDP，由∠BOP=∠COE，∠BPO=∠OCE=90°，推出∠E=∠OBP，推出∠E=∠PDE，推出PD=PE，利用三线合一即可解决问题．

解答 证明：连接PD，设BC交PE于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠PCD=∠PCB=45°，
在△PDC和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PC}\\{∠PCD=∠PCB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△PCD≌△PCB．
∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，
∵∠BOP=∠COE，∠BPO=∠OCE=90°，
∴∠E=∠OBP，
∴∠E=∠PDE，
∴PD=PE，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．