题目内容
18．
如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6$\sqrt{2}$，点C的坐标为（-9，0）．（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交OH于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求经过点D的反比例函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P是y轴上一点，在平面内是否存在点Q，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由一元二次方程的解，确定出0E，OC，再根据勾股定理得出BG，CG，从而得出结论；
（2）由DH∥AB，得出 $\frac{OD}{OB}$=$\frac{DH}{AB}$=$\frac{OH}{OA}$，求出点D的坐标，由D，E确定出直线DE解析式；
（3）先确定出OE，OF，再分四种情况计算，由菱形的性质和对称即可．
解答 （1）如图1，
∵x2-11x+18=0，
∴x=2或x=9，
∵OE＜OC，
∴OE=2，OC=9，
过点B作BG⊥OC，垂足为G
∵∠OCB=45°，BC=6 $\sqrt{2}$，
∴BG=CG=6，
∴OG=3，
∴B（-3，6），
（2）如图2，
过点D作DH∥AB，交y轴于点H
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{DH}{AB}$=$\frac{OH}{OA}$，
∵OD=2BD，
∴DH=2，OH=4，
∴D（-2，4），
设直线DE解析式为y=kx+b，
过点D（-2，4），E（0，2），
∴DE解析式为 y=-x+2；
（3）存在Q，
设直线y=-x+2分别与x轴、y轴交于点E、点F，
则E（0，2），F（2，0），
OE=OF=2，EF=2 $\sqrt{2}$．
如图3所示，
有四个菱形满足题意．
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．
则有P1E=P1Q1=OE=2，P1F=EF-P1E=2 $\sqrt{2}$-2．
∵△P1NF为等腰直角三角形，
∴P1N=NF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P1F=2-$\sqrt{2}$；
设P1Q1交x轴于点N，
∴NQ1=P1Q1-P1N=2-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$，
∵ON=OF-NF=$\sqrt{2}$，
∴Q1（ $\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）；
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．
此时Q2与Q1关于原点对称，
∴Q2（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，
∴Q3（2，2）；
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=2，得P4纵坐标为1，
代入直线解析式y=-x+2，得P4横坐标为1，
则P4（1，1），
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，
∴Q4（-1，1）．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q1（ $\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
Q2（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
Q3（2，2），Q4（-1，1）．
点评 本题考查是四边形综合题，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，对称的性质，关键是根据相似求出线段的长度得出点的坐标，学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
| A． | 只有符号不同的两个数互为相反数 | B． | 有理数分为正有理数和负有理数 | ||
| C． | 两数相加，和一定大于任何一数 | D． | 零是自然数，但不是有理数 |
已知：如图，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．
如图，一架长25m的云梯斜靠在一面墙上，此时梯子底端离墙7m，若将梯子的顶端下滑4m，则梯子的底端在水平方向上滑动了8m．