Question

3．已知直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，P是直线AB上的一个动点，过P点分别作x轴、y轴的垂线PE，PF，如图所示，
（1）若P为线段AB的中点，请求出OP的长度；
（2）若四边形PEOF是正方形时，求出P点坐标；
（3）P点在AB上运动过程中，EF是否有最小值？若有，请求出这个最小值；若没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得点A和点B的坐标，从而得到OB、OA的长度，然后根据勾股定理可求得AB的长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质求得OP的长即可；
（2）由正方形的性质可知；点P位于一、三象限或二、四象限的角平分线上，即点P的横纵坐标相等，或互为相反数；
（3）由题意可知四边形OEPF是矩形，由矩形的性质可知OP=EF，然后根据垂线段最短的性质可知OP⊥AB时，EF有最小值，最后利用面积法克求得OP的长，从而得到EF的长．

解答 解；（1）令x=0得：y=3；令y=0得x=-4
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，3）．
在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
在Rt△ABO中，点P是AB的中点，
∴PO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
（2）∵四边形PEOF为正方形，
∴PE=PF．
∴点P位于一、三象限或二、四象限的角平分线上．
设点P的坐标为（a，$\frac{3}{4}a+3$），则a+$\frac{3}{4}a+3$=0，或a=$\frac{3}{4}a+3$，
解得a=$-\frac{12}{7}$或a=12
∴点P的坐标为（$-\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）或（12，12）．
（3）如图所示：连接OP．

∵∠EOF=∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形PEPF为矩形．
∴PO=EF．
由垂线段最短可知；当OP⊥AB时，OP有最小值．
∵$\frac{1}{2}AB•OP=\frac{1}{2}AO•OB$，
∴$\frac{1}{2}×5×OP=\frac{1}{2}×3×4$．
∴OP=$\frac{12}{5}$．
∴EF存在最小值，最小值为$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是一次函数的综合应用，解答本题的关键是明确四边形PEOF为正方形时，点P位于一、三象限或二、四象限的角平分线上．