Question

20．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD的公共点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交⊙O于点G，当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动，则在运动过程中点G移动路程的长为（　　）

• A． 4cm
• B． $\frac{15}{4}$cm
• C． $\frac{108}{25}$cm
• D． $\frac{12}{5}$cm

Answer 1

分析 利用图1，证明点G的在射线BG上，∠CBG是定值，∠DBG=90°，如图2中，当⊙O与BD相切时，F与B重合，由△BCG∽△BAD时，可得$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图1中，连接CF、CG、FG．
易知四边形EFCG是矩形，
∴EF=CG，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{CG}$，
∴∠CBG=∠ABD，
∴点G的在射线BG上，∠CBG是定值，∠DBG=90°
如图2中，当⊙O与BD相切时，F与B重合，
由△BCG∽△BAD时，可得$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{BG}{5}$=$\frac{3}{4}$，
∴BG=$\frac{15}{4}$cm，
∴点G的运动路径的长为$\frac{15}{4}$cm，
故选B

点评 本题考查轨迹、矩形的性质和判定、切线的性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，探究运动轨迹是关键，属于中考选择题中的压轴题．