Question

14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b（a＜b），AB=5，a，b是方程x²-（m-1）x+（m+4）=0的两根
（1）求a，b；
（2）P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ=2？

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系，结合勾股定理可先求出m的值，再求得a、b即可；
（2）设经过x秒后PQ=2，求得CP、CQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可．

解答 解：（1）∵a、b是方程的x²-（m-1）x+（m+4）=0两个根，
∴a+b=m-1，ab=m+4．
又∵a²+b²=c²，
∴（m-1）²-2（m+4）=5²
∴m=8，m=-4（舍去），
∴原方程为x²-7x+12=0，
解得：a=3，b=4．
（2）设经过x秒后PQ=2，则CP=4-2x，CQ=x，由题意得
（4-2x）²+x²=2²
解得：x₁=$\frac{6}{5}$，x₂=2（P点到达C点，不合题意，舍去），
答：设经过$\frac{6}{5}$秒后PQ=2．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的运用，利用根与系数的关系求得直角三角形的边是解决问题的前提．