Question

18．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F、点H在BC上，若点E与点B关于AH对称，点E与点F关于BD对称，AH与BD相交于点G，则tan∠GBH=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据轴对称的性质可得∠BAC=∠DAC，AB=AE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ABE=45°，再根据轴对称的性质可得∠DBE=∠DBF，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBF=∠ADB，从而得到∠ADB=∠DBE，再根据等边对等角可得BE=DE，然后用AB表示出DE、AD，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．

解答 解：∵点E与点B关于AH对称，
∴∠BAH=∠DAH，AB=AE，
又∵AB⊥AD，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∵点E点F关于BD对称，
∴∠DBE=∠DBF，
∵AD∥BC，
∴∠DBF=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBE，
∴BE=DE，
在△ABE中，BE=$\sqrt{2}$AB，
∴DE=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=AE+DE=AB+$\sqrt{2}$AB=（$\sqrt{2}$+1）AB，
∴tan∠GBH=tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 此题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．注意掌握折叠中的对应关系是解此题的关键．