Question

10．已知（x²+y²-1）（x²+y²-2）=4，则x²+y²的值等于$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 设t=x²+y²（t≥0），则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t即x²+y²的值．

解答 解：设t=x²+y²（t≥0），则由原方程得到：（t-1）（t-2）=4，
整理，得
t²-3t-2=0．
则t=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$．
∵t≥0，
∴t=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．
故答案是：$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．