Question

已知半径为6的⊙O₁与半径为4的⊙O₂相交于点P、Q，且∠O₁P O₂= 120°，点A为⊙O₁上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O₂交于点B，直线O₁A与直线O₂B交于点M。

（1）       如图1，求∠AM B的度数；

（2）       当点A在⊙O₁上运动时，是否存在∠AM B的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AM B的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AM B的度数同于（1）中结论；

（3）       当点A在⊙O₁上运动时，若△APO₁与△BPO₂相似，求线段AB的长。

Answer 1

解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，∴∠A=∠APO₁

同理，∠B=∠BPO₂，

∵AB是直线，∠O₁P O₂= 120°，∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°

∴∠APO₁ +∠BPO₂=60°，即∠A+∠B=60°，

∴∠O₁M O₂=180°－60°=120°

(2)存在，

如图所示

∵A、P都在⊙O₁上，∴∠A=∠APO₁，

同理，∠PBO₂=∠BPO₂，

∴∠APO₁+∠BPO₂=120°

∵∠M+∠A=∠PBM=180°－∠BPO₂

∴∠M=180°－∠BPO₂－∠A

=180°－∠BPO₂－∠APO₁=180°－120°=60°

(3)  ∵△APO₁与△BPO₂相似，且△APO₁与△BPO₂都是等腰三角形，

∴底角∠APO₁=∠BPO₂，---------1分

情况一：当P在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=30°，

作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，∴AP=2HP，BP=2PD

∵O₁P=6，O_,2P=4，∴HP=，DP=

∴AB=

情况一：当P不在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=60°，

∴PA=O₁A=6，PB= O₂B= 4，∴AB=2