如图1.在平面直角坐标系xOy中.抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A.B两点.顶点为D(0.4).AB=4$\sqrt{2}$.设点F(m.0)是x轴的正半轴上一点.将抛物线C绕点F旋转180°.得到新的抛物线C′．(1)求抛物线C的函数表达式,(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点.求m的取值范围．(3)如图2.P是第一象限内抛物线C上一点.它� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax²+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4$\sqrt{2}$，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

分析（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（-2$\sqrt{2}$，0），设抛物线的解析式为y=ax²+4，把A（2$\sqrt{2}$，0）代入可得a=-$\frac{1}{2}$，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，-4），设抛物线C′的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2m）²-4，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4}\\{y=\frac{1}{2}（x-2m）^{2}-4}\end{array}\right.$，消去y得到x²-2mx+2m²-8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有$\left\{\begin{array}{l}{（2m）^{2}-4（2{m}^{2}-8）＞0}\\{2m＞0}\\{2{m}^{2}-8＞0}\end{array}\right.$，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2-m，可得M（m+2，m-2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m-2，2-m），利用待定系数法即可解决问题．

解答解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（-2$\sqrt{2}$，0），设抛物线的解析式为y=ax²+4，
把A（-2$\sqrt{2}$，0）代入可得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，-4），设抛物线C′的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2m）²-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4}\\{y=\frac{1}{2}（x-2m）^{2}-4}\end{array}\right.$，消去y得到x²-2mx+2m²-8=0，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有$\left\{\begin{array}{l}{（2m）^{2}-4（2{m}^{2}-8）＞0}\\{2m＞0}\\{2{m}^{2}-8＞0}\end{array}\right.$，解得2＜m＜2$\sqrt{2}$，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2$\sqrt{2}$．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，
∴PF=FM，∠PFM=90°，
易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2-m，
∴M（m+2，m-2），
∵点M在y=-$\frac{1}{2}$x²+4上，
∴m-2=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+4，解得m=$\sqrt{17}$-3或-$\sqrt{17}$-3（舍弃），
∴m=$\sqrt{17}$-3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m-2，2-m），

把M（m-2，2-m）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+4中，2-m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+4，解得m=6或0（舍弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=$\sqrt{17}$-3或6．